Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, ist größer, als die meisten glauben, denn bereits ab einer Gruppengröße von dreiundzwanzig ist sie größer als ein halb, also fünfzig Prozent.
Offenbar klar ist, dass die Wahrscheinlichkeit größer ist, je mehr Menschen betrachtet werden. Bei mehr als 366 Personen ist es sicher, dass sich darunter mindestens ein Paar befindet, das am gleichen Tag Geburtstag hat. Stellt man sich vor, dass man 367 Menschen auf 366 Stühle verteilt (wenn man den 29. Februar mit zählt), dann muss auf mindestens einen Stuhl mehr als eine Person zu sitzen kommen. Anders ausgedrückt, in einer Gesellschaft von mehr als 366 Menschen ist die Wahrscheinlichkeit für zwei identische Geburtstage gleich eins.
Das Geburtstags-Paradox
Weniger offensichtlich und für die meisten Menschen sehr überraschend ist allerdings die Tatsache, dass schon eine geringe Gruppengröße, nämlich dreiundzwanzig, ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit, dass zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, auf mehr als ein halb ansteigen zu lassen. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis eintritt, größer als die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils.
Wenn man also immer wieder Wetten abschließt, wenn man sich in einer Gruppe befindet, die mehr als dreiundzwanzig Mitglieder umfasst, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag geboren wurden, wird man damit im Durchschnitt mehr gewinnen als verlieren.
Der Trugschluss
Woher kommt nun der Gedanke der meisten Menschen, dass diese Wahrscheinlichkeit viel kleiner sein müsste, als sie tatsächlich ist? Er kommt aus der Herangehensweise an das Problem: Man überlegt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass jemand anderes am gleichen Tag Geburtstag hat wie man selbst. Diese Wahrscheinlichkeit ist natürlich bei dreiundzwanzig Personen nicht sehr groß, nämlich nur 5,9 Prozent, und daraus wird scheinbar logisch geschlossen, dass diese Wahrscheinlichkeit auch insgesamt sehr klein sein muss. In diesem Fall liegt der Trugschluss also darin, dass es bei dem Geburtstags-Paradox nur darum geht, dass das Ereignis auf irgendjemanden zutrifft, nicht aber auf eine bestimmte oder vorher ausgewählte Person.
Um die Wahrscheinlichkeit für zwei identische Geburtstage auszurechnen, beginnt man bei einer Gruppe, die nur zwei Mitglieder umfasst, lässt der Einfachheit halber den 29. Februar aus und unterstellt, dass alle Tage des Jahres als Geburtstag gleich wahrscheinlich sind. Hier ist die Wahrscheinlichkeit für zwei identische Geburtstage genau 1/365 oder 0,3 Prozent. Unabhängig vom Geburtstag der ersten Person hat die zweite immer eine Chance unter 365 möglichen Tagen, genau den gleichen Tag zu treffen.
Rechnen mit Gegenwahrscheinlichkeiten
Komplizierter wird die Sache, wenn man mehr als zwei Personen in einer Gruppe betrachtet. Hier hilft es, die Fragestellung umzudrehen, nämlich zu überlegen, mit welcher Wahrscheinlichkeit alle Geburtstage verschieden sind. Da die Ereignisse sich gegenseitig ausschließen, eines davon aber auf jeden Fall eintritt, ist die Wahrscheinlichkeit für das eine immer eins weniger die Wahrscheinlichkeit für das andere. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind also bei drei Personen alle Geburtstage verschieden? Die erste Person hat freie Wahl des Tages, die zweite hat die Auswahl unter 364 von 365 Tagen und die dritte kann noch unter 363 Tagen wählen. Die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Geburtstage ist also 365/365 x 364/365 x 363/365. Das Ergebnis dieser Rechnung ist 0,991, also 99,1 Prozent. Die Gegenwahrscheinlichkeit, also dass mindestens zwei Personen den gleichen Geburtstag haben, ist daher 0,9 Prozent. Genauso geht man vor, wenn man die Wahrscheinlichkeiten in einer Gruppe von mehr als drei Personen berechnen möchte. So kommt man zum Ergebnis, dass bei dreiundzwanzig Personen zu 50,7 Prozent zwei am gleichen Tag Geburtstag haben, bei vierzig Personen sind es bereits knapp 90 Prozent, bei fünfzig Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass nicht zwei am gleichen Tag Geburtstag haben nur mehr drei Prozent.
Wenn man jetzt den 29. Februar in die Berechnungen mit einbezieht kommt man zu dem Ergebnis, dass sich an den Zahlen nicht viel ändert, sie unterscheiden sich nur um 0,1 Prozent. Falls man nun noch davon ausgeht, dass nicht alle Geburtstage gleich wahrscheinlich sind, kommt man zu dem Ergebnis, dass die Wahrscheinlichkeit sogar noch größer wird und nicht, wie vermutet, kleiner. Im Extremfall, dass alle Menschen am gleichen Tag geboren sind, ist das auch leicht einzusehen, dann findet man immer zwei identische Geburtstage, unabhängig davon, wie groß die Gruppe ist. Aber auch für andere ungleiche Verteilungen ist der Anstieg der Wahrscheinlichkeit leicht nachzuweisen.
Drei gleiche Geburtstage
Bei drei statt zwei gleichen Geburtstagen wird die Sache noch komplizierter. Hier benötigt man 88 Personen, um eine Wahrscheinlichkeit zu erhalten, die größer als ein halb ist. Aber selbst für eine größere Anzahl an identischen Geburtstagen bleibt die Gruppengröße erstaunlich gering: in mehr als der Hälfte aller Firmen mit mehr als tausend Mitarbeitern haben mindestens neun am gleichen Tag Geburtstag.
Julia Spiegl - null
