- Natürliche Zahlen - MaEr
Eine Primzahl ist bekanntlich eine natürliche Zahl, die größer als eins und ausschließlich durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Schon früh tauchte in der Mathematik die Frage auf, wie viele Primzahlen es denn gebe.
Euklid von Alexandria
Euklid trug um 300 v.u.Z. in seinem berühmtesten Werk DIE ELEMENTE das gesamte Wissen der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammen. Darin findet sich auch sein berühmter, höchst eleganter Beweis, dass die Zahl der Primzahlen unendlich sein müsse, der als Satz des Euklid in die Geschichte einging.
Der Satz des Euklid
Euklid schrieb in DIE ELEMENTE lapidar: "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen“. Der Ausdruck unendlich kommt in dieser Formulierung gar nicht vor, folgt aber offensichtlich unmittelbar aus diesem Satz. Denn wenn jede Anzahl von Primzahlen überboten werden kann, so müssen es zwangsläufig unendlich viele sein.
Indirekte Beweise
Der Beweis wird von Euklid indirekt geführt. Das heißt, es wird nicht direkt bewiesen, dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist, sondern bei einem indirekten Beweis wird das Gegenteil angenommen, also die Negation dessen, was eigentlich bewiesen werden soll. Wenn es dann gelingt, aus der Annahme der Negation des zu Beweisenden einen Widerspruch zu folgern (reductio ad absurdum), dann hat man gezeigt, dass der zu beweisende Satz wahr ist. Denn wenn die Negation des Satzes, der bewiesen werden soll, in den Widerspruch führt, dann muss die Negation falsch und somit der Satz selbst wahr sein.
Die Beweisführung
Man nimmt also zunächst an, der Satz sei falsch, die Anzahl der Primzahlen also nicht unendlich, sondern das Gegenteil sei wahr: die Anzahl der Primzahlen sei begrenzt. Dann wäre es aber möglich, alle Primzahlen anzugeben, weil ihre Anzahl eine bestimmte natürliche Zahl, sagen wir die Zahl n, nicht übersteigt. p1, p2, p3, ..... , pn seien also alle Primzahlen, die es gibt.
Multipliziert man nun alle Primzahlen miteinander und addiert zu dem so entstandenen Produkt die 1, so erhält man die Zahl y = (p1 x p2 x p3 x ....... x pn) + 1. Die Zahl y kann nun ihrerseits eine Primzahl sein oder eine zusammengesetzte Zahl, das heißt außer 1 und y noch andere Teiler haben.
Fall a: Ist y eine Primzahl, so wäre dies ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass p1, p2, ..... , pn alle Primzahlen sind, die es gibt, denn y ist sicher nicht mit einer der Zahlen p1, p2, p3, ... pn identisch. Somit wäre mit y eine weitere Primzahl gefunden, die in der obigen Liste der Primzahlen nicht angeführt ist. Dies wäre aber ein Widerspruch zu der Annahme, dass die Liste alle Primzahlen enthält.
Fall b: Ist y dagegen keine Primzahl, dann hat y außer 1 und y selbst noch mindestens einen weiteren Teiler. Dieser weitere Teiler könnte nun selbst eine Primzahl sein (ein sogenannter Primteiler) oder aber ein Vielfaches einer Primzahl, denn jede Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig in Primfaktoren zerlegen. Auf jeden Fall muss es eine Primzahl geben, die y teilt, wenn y zusammengesetzt ist. Diese soll p heißen.
Wenn nun gezeigt werden kann, dass p mit keiner der Primzahlen aus der Liste übereinstimmt, dann ist bewiesen, dass die Annahme, p1, p2, p3, ... pn seien alle Primzahlen, zu einem Widerspruch führt und somit nicht richtig sein kann.
Da p so gewählt wurde, dass es y teilt, ist es natürlich möglich, y durch p ohne Rest zu teilen. Versucht man aber y durch eine der Primzahlen p1, p2, ..... , pn zu teilen. so erhält man stets den Rest 1. y ist also durch keine dieser Primzahlen teilbar. Folglich muss p eine andere Primzahl sein. Auch dies ist aber ein Widerspruch zu der Annahme, dass p1, p2, ..... , pn alle Primzahlen sind, die es gibt.
Es hat sich also gezeigt, dass die Annahme, die Anzahl der Primzahlen sei begrenzt, in jedem Fall zu einem logischen Widerspruch führt. Ergo muss die Annahme falsch gewesen und stattdessen das Gegenteil wahr sein. Das bedeutet aber, dass es zu jeder vorgegebenen Liste von Primzahlen eine Primzahl gibt, die nicht auf der Liste steht und es somit also unendlich viele Primzahlen gibt. Dies ist eine schlüssige mathematische Begründung oder wie man auch sagt ein Beweis.
Quellen:
- Jürgen Fritz: Das Kartenhaus der Erkenntnis - Warum wir Gründe brauchen und weshalb wir glauben müssen.
- Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung
- Hans-Dieter Gerster: Aussagenlogik - Mengen - Relationen
- Friedhelm Padberg: Elementare Zahlentheorie
- Reinhard/Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik
- Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie
- Reinhard Strehl: Zahlbereiche
Jürgen Fritz - Jürgen Fritz studierte in Heidelberg Philosophie und Erziehungswissenschaft sowie Mathematik, Physik und Geschichte für das ...
