- Bei der Mathematik hilft Wolfram|Alpha - Knipseline/pixelio.de
Wolfram|Alpha ist ein Internetdienst der Firma "Wolfram Research". Er beruht auf einer eigenen Datenbank und der großen Rechenpower des Mathematikprogramms "Mathematica". Weitere Informationen über Wolfram|Alpha finden Sie hier. In diesem Artikel wird beschrieben, wie Aufgaben zur Algebra mit Hilfe von Wolfram|Alpha gelöst werden können. "Algebra" bedeutet hier im Sinne der Schulmathematik das Rechnen mit Termen und das Lösen von Gleichungen. Artikel zum Thema "Mathematik mit Wolfram|Alpha" werden folgen.
Auflösen, Faktorisieren, Kürzen und Zusammenfassen von Termen
Wie die Erfahrung zeigt, scheitern viele Schüler und Erwachsene an algebraischen Aufgaben, weil sie die elementaren Techniken nicht richtig beherrschen. Dazu gehören vor allem das Auflösen, das Faktorisieren und das Kürzen von Termen. Diese Fähigkeit sollte also intensiv geübt werden. Wolfram|Alpha kann dabei helfen, die selbständig erarbeiteten Lösungen zu kontrollieren oder sogar Lösungen zu finden. Hier sind einige Beispiele. Vor dem Doppelpunkt steht das Thema und hinter dem Doppelpunkt die Eingabe bei Wolfram|Alpha. Das Semikolon trennt unterschiedliche Eingaben.
- Auflösen eines Terms: Expand (x + y)^5; Expand y(x + y)
- Faktorisieren eines Terms: Factor x^2 - 16x + 4; Factor 2x^5 - 19x^4 + 58x^3 - 67x^2 + 56x - 48
- Kürzen eines Terms: Cancel [(x^2 - y^2)/(x-y)]; Cancel [(r^(n+1) - r^n)/(r^(n+1) - r^(n-1))]
- Zusammenfassen von Variablen: Collect (ax + bx + cy)
- Zusammenfassen zu einem Bruchterm: Together (a/b + c/d)
Vereinfachen eines Terms
Manchmal ist ein Term so kompliziert, dass man ihn gerne vereinfachen möchte. Selbst für den Fall, dass "Auflösen, Faktorisieren und Kürzen" nicht möglich sind, lässt sich der Term bisweilen in eine einfachere oder zumindest günstigere Form bringen. Eine solche Maßnahme kann für den Erfolg oder Misserfolg der weiteren Rechnungen entscheidend sein. Das folgende Beispiel zeigt die entsprechende Eingabe:
Vereinfachen eines Terms: simplify x^5 - 20x^4 + 163x^3 - 676x^2 + 1424x - 1209
Polynomdivision
Ein häufiger Gast im Mathematikunterricht des Gymnasiums ist die "Polynomdivision":
- Polynomdivision: Quotient and remainder (x^2 +x - 1)/(x-1)
Neben dem Ergebnis zeigt Wolfram|Alpha einen Button mit dem Titel "Show steps". Wenn Sie darauf klicken, erklärt die Maschine, wie man zu dem Ergebnis gelangen kann.
Horner Form
Wenn man die Werte für den Term x^3 - 3x^2 + 2x - 4 berechnen will, dann müssen neben Summen, Differenzen und Produkten auch Potenzen ausgerechnet werden. Man kann den entsprechenden Rechenaufwand eventuell erheblich reduzieren, indem man den Term "linearisiert", so dass keine Potenzen berechnet werden müssen. Dazu dient die "Horner Form" des Terms:
- Horner Form eines Terms: Horner Form [x^3 - 3x^2 + 2x -4]
Gleichungen und Gleichungssysteme
Die Königsdisziplin der Algebra ist sicherlich das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hier sind einige Beispiele:
- Lineare Gleichung mit einer Variablen: Solve 2x+4 = 6
- Quadratische Gleichung: Solve x^2 - 4x + 3 = 0
- Gleichung 3. Grades: Solve x^3 - 4x^2 + 6x - 24 = 0
- Quadratische Gleichung mit Parametern: Solve ax^2 + bx + c = 0 for x
- Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen: Solve x + y= 3, x-y = 1
- Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen: Solve x + y + z = 3, x - y = 1, y + z = 0
Es ist auch hier möglich, durch Anklicken von "Show steps" sich den detaillierten Lösungsweg anzeigen zu lassen.
Ungleichungen
Beispiele: x^2+y^2 < 9; x+y <=0 and x > 0
Matrizen
Auch Matrizen tauchen immer häufiger im Mathematikunterricht des Gymnasiums auf. Eine 2x2-Matrix wird bei Wolfram|Alpha folgendermaßen dargestellt: {{1,2},{3,4}}. Die erste Zeile dieser Matrix besteht also aus den Zahlen 1 und 2, die zweite Zeile aus den Zahlen 3 und 4. Gibt man diese Matrix ein, dann erhält man eine Reihe von Eigenschaften, wie die Determinante, die Eigenwerte, die Eigenvektoren und so weiter. Es ist aber auch möglich, gezielt diese Eigenschaften abzufragen. Hier sind einige Beispiele:
- Inverse einer Matrix: Inverse {{1,2}, {3,4}}
- Determinante einer Matrix: Determinant {{1,2},{3,4}}
- Eigenwerte einer Matrix: Eigenvalue {{1,2,},{3,4}}
Wolfram|Alpha erweist sich als ein überaus nützliches Werkzeug im Umgang mit Problemen der Algebra. Sowohl in der Schule und im Studium als auch im Beruf kann dieser Internetdienst mit großem Gewinn eingesetzt werden. Das einzige Problem ist, die Eingabe so zu formulieren, dass Wolfram|Alpha die gewünschte Antwort liefert.
Einfach zu bedienende Programme auf der Basis von Wolfram|Alpha finden Sie hier.
