- Funktionen sind die Elemente der Analysis - Gerd Altmann/pixelio.de
Die Analysis gehört immer noch zum Kernbestand des gymnasialen Oberstufenunterrichts im Fach Mathematik. Damit ist sie auch obligatorischer Gegenstand der Abiturprüfungen. Mit Wolfram|Alpha können Schüler ihre Fähigkeiten in der Analysis steigern, erzielte Ergebnisse kontrollieren und kreative Experimente unternehmen. Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie hier. Die Eingaben bei Wolfram|Alpha sind einfach und orientieren sich an der Umgangssprache. Man muss allerdings hinzufügen, dass nicht jede Eingabe zum erhofften Ergebnis führt. Dieser Artikel soll dabei helfen, diese Schwierigkeit im Umgang mit diesem Internetdienst zu mildern. Die zu benutzende Sprache ist Englisch.
Differenzieren und Integrieren sind die Grundrechenarten der Analysis
Differentialrechnung und Integralrechnung sind mit Wolfram|Alpha einfach zu bewältigen. Hier sind einige Beispiele. Vor dem Doppelpunkt steht das Thema, hinter dem Doppelpunkt die Eingabe bei Wolfram|Alpha:
- Ableitung einer Funktion: derivative x^3 - 3x
- Ableitung einer Funktion an einer Stelle: derivative x^3 - 3x where x = 1
- Zweite Ableitung einer Funktion: second derivative x^3 - 3x
Wie man sieht, liefert Wolfram|Alpha eine graphische Darstellung der Ableitungsfunktion gleich mit.
- Unbestimmtes Integral einer Funktion: integrate 3x^2 -3
- Bestimmtes Integral einer Funktion: integrate 3x^2 - 3 from 0 to 2; integrate Exp(-x^2) from -Infinity to Infinity
- Gleichung mit Integral lösen: 288 = integrate x^2 + 2x from x=0 to x = t
Auch hier liefert die Maschine eine graphische Darstellung des Ergebnisses.
Wolfram|Alpha in Kombination mit dem CDF-Player erhöht eventuell den Komfort
Einen besonderen Service bietet Wolfram|Alpha an, wenn der Nutzer die Maschine mit dem von Wolfram Research angebotenen CDF-Player kombiniert. Sie können den Player unter dem Link herunterladen und in Wolfram|Alpha integrieren. Der Player kann aktiviert und deaktiviert werden. Hinsichtlich der Darstellung des bestimmten Integrals gibt es bei Aktivierung des Players den Zusatzservice der Präsentation der entsprechenden Riemann-Summe, wobei die Anzahl der Zerlegungen mittels eines Schiebers verändert werden kann. Es ist allerdings manchmal vorteilhaft, den Player zu deaktivieren. Der Nutzer sollte diese Entscheidung von Fall zu Fall neu treffen.
Berechnung der Fläche zwischen zwei Kurven
Aufgaben dieser Art finden sich im Schulunterricht häufig. Mit Wolfram|Alpha sind sie schnell erledigt:
- Fläche zwischen zwei Kurven berechnen: compute the area betweeen -x^2 and x^2-4
- Fläche zwischen der x-Achse und einer Kurve: compute the area between 0 and x^3 - 3x
Extrema und Wendepunkte bestimmen
Hier einige Beispiele:
- Extrema einer Funktion bestimmen: extrema x^3-3x
- Maxima einer Funktion bestimmen: maxima x^3 - 3x
- Minima einer Funktion bestimmen: minima x^3 - 3x
- Maxima einer Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall: maxima x^3 - 3x for 0<=x<=2
- Wendepunkte bestimmen: inflection points x^3 - 3x
Differentialgleichungen lösen
- Differentialgleichung ohne Nebenbedingungen: y'' + y = 0
- Differentialgleichung mit Nebenbedingungen: y'' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1
Kurvendiskussion
Die bloße Eingabe des Funktionsterms liefert eine komplette Kurvendiskussion:
- Ganz-Rationale Funktion: x^3 - 3x
- Gebrochen-Rationale Funktion: (x^2 + 2)/2x
- Exponential-Funktion: x^2*Exp(-x)
In diesem Zusammenhang ist die Integration des CDF-Players in Wolfram|Alpha besonders zu empfehlen.
Funktionenscharen
Die folgende Eingabe liefert eine Tabelle der Funktionen und deren graphische Darstellung. Hier muss zwischen der Variablen x und dem Parameter k unterschieden werden. In der geschweiften Klammer stehen der Anfangswert und der Endwert für den Parameter k.
- Darstellung einer Schar von Funktionen: Table[x^3 - 3k^2x, {k,0,4}]
- Darstellung einer weiteren Schar von Funktionen: Table[x*Exp(-k*x^2), {k, -3,3}]
- Darstellung einer Schar von Funktionen mit der Schrittweite 2: Table[x^3 - kx, {k,0,6,2}]
Hier ist die Deaktivierung des Players eventuell vorteilhaft.
Grenzwerte
- Grenzwert einer Folge: limit (n!/n^n) for n->Infinity
- Summe einer unendliche Reihe: sum((1/n)^2) for n from 1 to Infinity
- Riemann-Summe: sum i^2/n^3, i from 1 to n, n->Infinity
Kurven-Fit
- Gerade: linear fit {1.3,2.2},{2.1,5.8},{3.7,10.2},{4.2,11.8]
- Quadratische Parabel: quadratic fit {0,0},{2,2},{4,8}
- Parabel 3. Grades: cubic fit {1,20.9},{2,23.2},{3,26.2},{4,26.4},{5,16.3},{6,-12.2},{7,-60.6},{8,-128,9}
- Exponentialfunktion: exponential fit 0.783,0.552,0.383,0.245,0.165,0.097
Einfach zu bedienende Programme finden Sie hier
Quellen: Wolfram|Alpha
