- Rechnen - Dr. Klaus Retzlaff (frei nach GNU)
Neben den vier Grundrechenarten (Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren) zählt die Prozentrechnung zu den elementaren Dingen der Mathematik, die jeder beherrschen sollte. Die Prozentrechnung wird vor allem in der Berufsausbildung für Kaufmännische Berufe oder bei Eignungstests von Bewerbern als bekannt vorausgesetzt. Probleme bereitet sie meist jenen, die sich nie mit Prozentrechnung befasst haben, etwa Umschülern, die aus Berufen kommen, wo hauptsächlich mit der Hand gearbeitet wird, nun aber aus konjunkturellen (Arbeitslosigkeit) oder gesundheitlichen Gründen (Arbeitsunfall, chronische Erkrankung) auf eine Bürotätigkeit umschulen müssen.
Formen der Prozentrechnung
Die einfache Prozentrechnung, also das Errechnen eines Betrags von einem Wert durch Angabe einer Prozentzahl, wird von den meisten Menschen problemlos bewältigt (etwa: „Eine Ware kostet 20 Euro. Es gibt auf diesen Preis 20 Prozent Rabatt. Wie hoch ist der Rabatt in Euro?“). Schwieriger wird es, wenn es um den erhöhten und verminderten Grundwert geht. Dabei macht nicht das Berechnen der Werte Probleme, sondern das Erkennen, ob man es mit einer einfachen Prozentrechnung oder eben mit diesen erhöhten oder verminderten Grundwerten zu tun hat.
Was ist „Prozent“ eigentlich?
Das Wort „Prozent“ stammt aus dem Lateinischen. Wer Asterix-Leser ist, hat jetzt klare Vorteile, denn er kennt den Begriff des „Zenturio“. Ein Zenturio führt eine Einheit von 100 Mann, er ist ein „Hundertschaftsführer“. Die Silbe „zent“ muss also etwas mit der Zahl 100 zu tun haben (1 Euro besteht aus 100 Einheiten, die wir „Cent“ nennen). „Prozent“ heißt also nichts anders als „von Hundert“ oder „Hundertstel“.
Dies bedeutet, dass der Prozentwert eigentlich nichts anderes ist als ein Bruch, bei dem im Nenner, also unter dem Bruchstrich, immer eine 100 steht. 1 Prozent ist damit 1/100; 19 Prozent sind 19/100; 50 Prozent demzufolge 50/100.
Prozentrechnung ist immer Dreisatz
Wer in der Ausbildung für einen Kaufmännischen Beruf steckt, dem wird zwangsläufig und ständig der Dreisatz über den Weg laufen. Wie man jede Dreisatzaufgabe der Welt mit ganz einfachen Mitteln lösen kann, ist bereits an anderer Stelle erläutert worden. Das Schöne an der Prozentrechnung ist, dass sie sich immer auf den Dreisatz zurückführen lässt. Bei der oben genannten Aufgabe („Eine Ware kostet 20 Euro. Es gibt auf diesen Preis 20 Porzent Rabatt. Wie hoch ist der Rabatt in Euro?“) heißt der Dreisatz:
100 Prozent = 20 Euro
20 Prozent = ? Euro
und kann einfach gelöst werden. Auch bei Aufgaben, die sich um den erhöhten oder verminderten Grundwert drehen, kommt es am Ende zu einem Dreisatz. Das Problem ist nur: Wie erkennt man, ob es sich um eine einfache Prozentrechnung oder um diesen erhöhten oder verminderten Grundwert handelt?
Mit einem Schema die Art der Prozentrechnung erkennen
Die Lösung für unser Problem ist recht einfach. Eine kleine Tabelle, die drei mal drei Felder groß ist, hilft uns dabei. In die erste Spalte schreiben wir untereinander die Begriffe „Grundwert“, „Veränderung“ und „Ergebnis“. Die zweite Spalte erhält „100 Prozent“, „... Prozent“ und „... Prozent“, die dritte Spalte bekommt in alle drei Zeilen nur Striche.
Das Schema nutzen
Dieses kleine Schema muss jetzt mit den Zahlen aus einer Prozentrechenaufgabe gefüllt werden, und dann können wir direkt den Dreisatz ablesen. Nehmen wir als Beispiel wieder unsere bereits bekannte Aufgabe mit dem Preisrabatt. Uns liegen zwei Zahlen vor, nämlich die 20 Euro und die 20 Prozent. Die 20 Prozent sind die Veränderung des Preises, also tragen wir die „20“ in der zweiten Zeile in das Feld ein, wo das Prozent-Zeichen steht. Nun fragen wir uns: Sind die 20 Euro der Betrag, der verändert werden soll, oder sind die 20 Euro das Ergebnis der Veränderung? Natürlich sind die 20 Euro der Betrag, der verändert werden soll, also hat diese Zahl nichts in der Zeile „Ergebnis“ zu suchen. Damit bleibt uns nur das dritte Feld in der Zeile „Grundwert“ (im zweiten Feld steht ja „100 Prozent“). Damit haben wir alle Angaben für den Dreisatz zusammen und können die Aufgabe lösen:
100 Prozent = 20 Euro
20 Prozent = ? Euro
Erhöhter und verminderter Grundwert
Eine andere Aufgabe: „Ein Vertreter überweist uns nach Abzug einer Provision von 15 Prozent einen Betrag von 4.750 Euro. Wie hoch war der ursprüngliche Betrag?“
Wieder benutzen wir unser Schema und tragen die vorgegebenen Zahlen ein. Die 15 Prozent sind die Veränderung, also landet diese Zahl in der zweiten Zeile. Wo lassen wir nun die 4.750 Euro? Die erste Frage, die wir beantworten müssen: Ist das die Zahl, die durch die 15 Prozent verändert werden soll, oder ist das bereits das Ergebnis der Veränderung? In der Aufgabe heißt es „nach Abzug einer Provision“, also ist es das Ergebnis. Damit gehören die 4.750 Euro in die dritte Zeile in das letzte Feld.
Noch reichen uns die Angaben nicht für einen Dreisatz. Bei den Veränderungsprozenten (also den 15 Prozent) müssen wir ein Vorzeichen einsetzen. „Nach Abzug einer Provision“ bedeutet, hier ist etwas weniger geworden, also bekommen die „15 Prozent“ ein Minuszeichen. Damit haben wir jetzt in der Spalte mit den Prozenten „100 Prozent“ und „–15 Prozent“ und „... Prozent“ stehen. Wir können das dritte Prozentfeld ausrechnen: „85 Prozent“. Das ist der verminderte Grundwert. Der Dreisatz lautet:
85 Prozent = 4.750 Euro
100 Prozent = ? Euro
Nach dem gleichen Verfahren kann auch der erhöhte Grundwert berechnet werden: „Einem Mitarbeiter wird eine Prämie in Höhe von 10 Prozent auf sein Monatsgehalt gezahlt. Sein Bruttogehalt beträgt daher in diesem Monat 2.860 Euro. Wie hoch ist sein Monatsgehalt?“
Probieren Sie es aus! Und üben Sie es!
Ein schwieriger Fall?
Hilft die Tabelle auch bei diesem Problem? „Ein Fernseher wird im Preis um 15 Prozent gesenkt. Das sind 78 Euro. Wie teuer ist der Fernseher jetzt?“
Die 15 Prozent sind der Änderungsprozentwert, die 78 Euro der Änderungsbetrag. Der neue Preis stellt 100 Prozent minus 15 Prozent = 85 Prozent dar. Damit können wir den Dreisatz aufbauen:
15 Prozent = 78 Euro
85 Prozent = ? Euro
Die Prozentrechnung mit und ohne erhöhtem/vermindertem Grundwert sollte jetzt niemandem mehr Probleme bereiten.
Siegfried Dierker - Jahrgang 1958; gebürtiger Westfale, wohnhafter Niedersachse; nach Abitur und Bundeswehr Ausbildung zum Reiseverkehrskaufmann, ...
