- Der Raucher als Forschungsobjekt - wrw/pixelio.de
Der Verband der Zigarettenindustrie "Schwarze Lunge" erteilt dem Marktforschungsunternehmen "Klare Sicht" den Auftrag, das Verhalten der deutschen Raucher zu untersuchen. Grundlage ist eine alte Studie, nach der deutsche Männer im Durchschnitt 8 Zigaretten am Tag rauchen. Das Unternehmen führt eine Stichprobe an 100 Männern durch und kommt dabei zu dem Ergebnis, dass in dieser Stichprobe der durchschnittliche Zigarettenkonsum bei 7 Glimmstängeln liegt. Darüber hinaus ergibt die Stichprobe eine Standardabweichung von 4 Zigaretten. Man stellt sich nun die Frage, ob die Differenz zwischen der neuen und der alten Untersuchung auf einer Veränderung des Raucherverhaltens zurückzuführen ist oder ob es sich dabei um eine zufällige Abweichung handelt. Diese Frage soll mittels eines Hypothesentests entschieden werden.
Grundlage des Tests ist eine Nullhypothese
Die erwachsenen deutschen Männer bilden hier die Grundgesamtheit, die 100 ausgewählten Männer die Stichprobe. Man formuliert nun eine sogenannte Nullhypothese, die für den Rest der Untersuchung die Grundlage der Argumentation sein wird. Diese Hypothese lautet: In der Grundgesamtheit liegt der tägliche durchschnittliche Zigarettenverbrauch bei 8 Zigaretten. Nun benötigt man noch eine Entscheidungsgrundlage dafür, die Hypothese abzulehnen oder sie anzunehmen. Zu diesem Zweck legt man von vorne herein ein sogenanntes "Signifikanzniveau" fest. Deswegen nennt man den Test auch einen "Signifikanztest". In diesem Fall soll das Niveau bei 5% liegen. Die Hypothese wird abgelehnt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe einen Mittelwert von 7 Zigaretten oder weniger ergibt, kleiner als 5% ist, unter der Voraussetzung, dass der wahre Mittelwert bei 8 Zigaretten liegt . Andernfalls wird die Hypothese angenommen.
Die Stichprobenverteilung des Mittelwertes entspricht näherungsweise einer Normalverteilung
Man weiß aus der Stichprobentheorie, dass die Mittelwerte einer Stichprobenverteilung in guter Näherung einer Normalverteilung folgen. Das gilt zumindest für den Fall, dass der Umfang der Stichprobe größer oder gleich 30 ist. Man weiß weiterhin, dass der Mittelwert der Stichprobenverteilung gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit ist und dass die Standardabweichung der Stichprobenverteilung gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit ist geteilt durch die Wurzel aus dem Stichprobenumfang. Darüber hinaus weiß man, dass die Standardabweichung der Stichprobe gleichgesetzt werden kann mit der Standardabweichung der Grundgesamtheit. Man kann hier also für die Stichprobenverteilung von einer Normalverteilung ausgehen mit dem Mittelwert 8 und der Standardabweichung 0,4.
Mit Excel 2007 lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit leicht berechnen
Es ist nun folgende Aufgabe zu lösen: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung der Mittelwert einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich 7 ist. In die Sprache der Mathematik übersetzt heißt das: Wie groß ist die Fläche unter der Kurve der vorgegebenen Normalverteilung vom linken Rand bis zum X-Wert 7? Dieses Problem lässt sich mit Excel 2007 leicht lösen. Geben Sie in eine leere Zelle folgenden Befehl ein: "=NORMVERT(7;8;0,4;Wahr). In der Klammer steht an erster Stelle der X-Wert, an zweiter Stelle der Mittelwert der Normalverteilung, an dritter Stelle die Standardabweichung der Normalverteilung und an vierter Stelle wird festgelegt, dass die Fläche unter der Kurve berechnet werden soll. Klicken Sie dann auf das Häkchen in der Bearbeitungsleiste. Das Ergebnis hat den Wert 0,0062, was 0,62% entspricht. Eine Darstellung der Stichprobenverteilung finden Sie unter Hypothesentest.
Die Interpretation des Hypothesentests
Das Ergebnis lautet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem tatsächlichen Mittelwert von 8 Zigaretten in der Grundgesamtheit in einer Stichprobe vom Umfang 100 ein Mittelwert erzielt wird, der kleiner oder gleich 7 ist, bei etwa 0,62% liegt. Dieser Wert ist deutlich geringer als das vorgegebene Signifikanzniveau von 5%. Die Nullhypothese ist also abzulehnen. Es muss davon ausgegangen werden, dass sich das Rauchverhalten tatsächlich verändert hat.
Quelle: Monka, Schöneck, Voss: Statistik am PC, Hanser 2008
