- Test auf Normalverteilung - Alfred Dandyk
Man hört oft die Behauptung, der Intelligenzquotient der Menschen sei "normalverteilt". In diesem Artikel soll erläutert werden, in welchem Sinne die Richtigkeit dieser Behauptung bestätigt werden kann. Das Wort "normalverteilt" bezieht sich auf eine theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung namens "Normalverteilung". Alternative Bezeichnungen sind "Gauß-Verteilung" und Glockenkurve. Excel 2007 bietet die Funktion "NORMVERT" für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten an. Einzelheiten zur Normalverteilung werden unter dem entsprechenden Link ausführlich dargestellt.
Der Test beginnt mit der Darstellung der empirischen Häufigkeiten
Die Psychologen sind in der Lage, den Intelligenzquotienten der Menschen mittels Testverfahren zu bestimmen. Die Ergebnisse einer solchen Untersuchung sind unter dem Link TestNormalverteilung in Tabelle1 dargestellt worden. Man sieht, dass der Intelligenzquotient in Klassen eingeteilt wurde. Die erste Klasse lautet "60 bis unter 70", die zweite Klasse "70 bis unter 80", die letzte Klasse "130 bis unter 140". Eine kleine Schwäche dieser Einteilung fällt sofort auf. Sie fängt bei 60 an und hört bei 140 auf. Die Normalverteilung hat aber einen Definitionsbereich, der bis Unendlich reicht. Man muss also damit rechnen, dass auf Grund dieser Diskrepanz kleine Fehler im Laufe der Betrachtung auftauchen werden. Weiterhin wurden Klassenmitten definiert, weil man mit diesen besser rechnen kann als mit Intervallen. Die erste Klasse zum Beispiel hat die Klassenmitte 65. An Hand der Spalte "Häufigkeit" können Sie erkennen, dass 789 Menschen getestet wurden. Der Mittelwert für den Intelligenzquotienten auf Grund dieser empirischen Untersuchung beträgt 99,71 und die Standardabweichung 16,44. In Tabelle1 ist ebenfalls ein Diagramm für die empirischen Häufigkeiten zu erkennen.
Der zweite Schritt besteht in der Darstellung der theoretischen Häufigkeiten
Zunächst muss entschieden werden, welche Normalverteilung zum Vergleich herangezogen werden soll. Es gibt ja unendliche viele davon und sie unterscheiden sich alle durch die Werte von zwei Parametern, dem Mittelwert und der Standardabweichung. Hier wird folgende Variante gewählt: Als Mittelwert der Normalverteilung wird der empirisch gefundene Mittelwertwert eingesetzt. Das heißt, man betrachtet hier eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 99,71. Für die Standardabweichung gilt dasselbe. Grundlage des Tests ist demnach die Normalverteilung N(99,71;16,44). Mit Hilfe von "NORMVERT" kann die entsprechende theoretische Verteilung berechnet werden. Einzelheiten werden unter dem Link Normalverteilung beschrieben. Daraus berechnet man dann die theoretische Häufigkeit. Diese kann ebenfalls unter dem Link TestNormalverteilung betrachtet werden. Das entsprechende Diagramm ist dort auch zu finden. In Tabell2 sind darüber hinaus beide Häufigkeiten in einem Diagramm dargestellt worden. Der Augenschein spricht dafür, dass die empirischen Häufigkeiten gut durch die theoretischen Häufigkeiten reproduziert werden. Es kommt nun darauf an, diesen Augenschein zu quantifizieren. Grundlage dafür ist der sogenannte "Chi-Quadrat-Anpassungstest".
Nullhypothese, Signifikanzniveau und Prüfgröße als Grundlage
Die Nullhypothese lautet: "Die Intelligenzquotienten sind normalverteilt". Das Signifikanzniveau betrage 10%. Das bedeutet: Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Abweichung zwischen den beiden Häufigkeiten zufällig ist, kleiner oder gleich 10% ist. Das Problem besteht nun darin, diese Wahrscheinlichkeit für die Zufälligkeit der Abweichung zu bestimmen. Zu diesem Zweck wird eine Prüfgröße gebildet, der sogenannte u-Wert. Man bildet dazu die Differenz der beiden Häufigkeiten, quadriert diese Differenz und dividiert jede dieser Differenzen durch den Wert der jeweiligen theoretischen Häufigkeit. Anschließend wird die Summe gebildet. Unter dem Link TestNormalverteilung Tabelle1 können Sie sehen, dass der Wert dieser Summe 7,04111 beträgt. Dieser Wert ist der u-Wert. Damit sind die Nullhypothese, das Signifikanzniveau und die Prüfgröße festgelegt.
Die Wahrscheinlichkeit der Prüfgröße wird mit "CHIVERT" berechnet
Mathematiker können beweisen, dass unter bestimmten Voraussetzungen der u-Wert eine Wahrscheinlichkeit besitzt, die durch die sogenannte "Chi-Quadrat-Verteilung" wiedergegeben wird. Voraussetzung dafür sind unter anderem, dass der u-Wert eine Zufallsgröße ist und weiterhin, dass jede der theoretischen Häufigkeiten mindestens den Wert 5 hat. Wenn die Nullhypothese zutrifft, dann ist u eine Zufallsgröße. Auch die zweite Bedingung trifft zu, wie die Tabelle zeigt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für den u-Wert berechnet werden kann. Excel 2007 stellt dafür die Funktion "CHIVERT" zur Verfügung. Sie erreichen diese Funktion über folgende Registerkarten: "Formeln/Funktion einfügen/Statistik/CHIVERT". Bestätigen Sie mit OK. Es öffnet sich ein Fenster. Bei X muss der u-Wert eingetragen werden, hier also der Wert 7,04111. Das zweite Eingabefeld verlangt eine Zahl, die "Freiheitsgrade" benannt wird. Die Freiheitsgrade berechnen sich nach der folgenden Formel: Anzahl der Summanden der Prüfgröße - 1 - Anzahl der geschätzten Parameter. Die Anzahl der Summanden beträgt hier 8. Die Anzahl der geschätzten Parameter ist 2, weil der Mittelwert und die Standardabweichung der Nomalverteilung mit Hilfe der empirischen Häufigkeiten geschätzt wurden. Somit gilt: Freiheitsgrade = 8-1-2=5. Bei Freiheitsgrade muss also die Zahl 5 eingegeben werden. Bestätigen Sie mit OK. Das Ergebnis lautet ungefähr 0,22, also etwa 22%.
Interpretation des Ergebnisses
Unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, ist die Prüfgröße u eine Zufallsgröße und folgt der Chi-Quadrat-Verteilung. Die Wahrscheinlichkeit, dass der u-Wert einen Wert von 7,04111 oder größer annimmt, beträgt etwa 22 %. Diese Wahrscheinlichkeit ist größer als das Signifikanzniveau von 10%. Die Hypothese ist also anzunehmen. Der Intelligenzquotient ist auf der Grundlage dieses Tests tatsächlich normalverteilt.
Quelle: Monka, Schöneck, Voss: Statistik am PC, 2008
