Kombinatorische Probleme tauchen in der Statistik immer wieder auf. Excel2007 bietet einige Funktionen an, von denen in diesem Artikel drei vorgestellt werden, und zwar die Permutation, die Kombination und die Variation. Sowohl die praktische Relevanz dieser Begriffe als auch ihre mathematische Struktur und ihr Einbau in Excel2007 sollen hier gleicherweise zur Sprache kommen.

Bei einer Permutation wird die Reihenfolge der Elemente verändert

Angenommen, Ihre 5 Kinder streiten sich jeden Morgen darüber, in welcher Reihenfolge sie das Bad benutzen dürfen. Um diesen Streit zu beenden, beschließt der Familienrat, die Reihenfolge jeden Tag zu ändern. Jedem Kind wird eine Nummer zugeordnet und am ersten Tag soll die Reihenfolge {1,2,3,4,5} eingehalten werden, am zweiten Tag {2,3,4,5,1} und so weiter. Die Frage lautet nun, wie viele Tage vergehen, bis alle Möglichkeiten realisiert worden sind. Die Antwort lautet "120". Excel2007 bietet folgende Funktion zur Beantwortung dieser Frage an.

=Fakultät(5)

Wenn Sie diese Funktion in eine Zelle des Arbeitsblattes eintippen und das Häkchen in der Arbeitsleiste aktivieren, liefert Excel 2007 die entsprechende Antwort. Es ist auch möglich, eine Tabelle mit den Werten der Fakultätsfunktion zu erstellen. Ein Beispiel finden Sie unter Link1. Sie haben damit mit Hilfe von Excel2007 das folgende mathematische Problem gelöst: Wie groß ist die Anzahl aller Möglichkeiten, bei einer Menge von n Elementen die Reihenfolge dieser Elemente zu verändern? Die Antwort auf dieses Problem lautet: Fakultät(n).

Bei einer Kombination werden Elemente ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ausgewählt

Angenommen, Sie haben 36 Mitarbeiter und möchten daraus Teams mit jeweils 3 Mitgliedern bilden. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Die Antwort darauf lautet "7140". Mit Excel 2007 erhalten Sie diese Antwort durch folgende Anweisung.

=Kombinationen(36;3)

Wieder ist es möglich, in Excel2007 eine Tabelle zu erstellen, in der Sie die Anzahl der Kombinationen direkt ablesen können. Ein Beispiel finden Sie in Link2. Sie haben damit das folgende mathematische Problem gelöst: Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus n Elementen k Elemente auszuwählen, wobei Wiederholungen verboten sind und die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielen soll? Mit anderen Worten: Die Auswahl {Meier, Meier, Schmidt} ist verboten und die Auswahl {Meier, Schmidt, Müller} ist mit der Auswahl {Müller,Meier, Schmidt} identisch.

Bei einer Variation werden Elemente mit Berücksichtigung der Reihenfolge ausgewählt

Ein Gastwirt hat die Aufgabe, 3 Gäste an 6 freien Tischen unterzubringen, und zwar so, dass jeder Gast alleine an einem Tisch sitzt. Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür? Zur Lösung des Problems schreibt man die Namen der Gäste auf: {Meier, Schmidt, Müller}. Gleichzeitig werden die Tische nummeriert: {1,2,3,4,5,6}. Nun werden zufällig drei Tische ausgewählt und man erhält zum Beispiel das folgende Ergebnis: {3,5,1}. Entsprechend werden die Tische den Gästen zugeordnet. Meier kommt an Tisch 3, Schmidt an Tisch 5 und Müller an Tisch 1. Entscheidend ist hier, dass im Gegensatz zu den Kombinationen die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist. Denn {1,3,5} entspricht einer anderen Verteilung als {3,5,1}, obwohl dieselben Tische ausgewählt worden sind. Eine solche Auswahl, bei der die Reihenfolge wichtig ist, nennt man in der Mathematik eine Variation. Excel2007 stellt dafür die folgende Anweisung zur Verfügung.

=Variationen(6;3)

Das Ergebnis lautet "120". Eine entsprechende Tabelle können Sie in Link3 betrachten.

Tabellen können mit Hilfe des gemischten Zellbezuges erstellt werden

Angenommen, Sie haben in den Zellen B6:B17 die Zahlen für die Anzahl der Tische stehen und in den Zellen C5:H5 die Zahlen für die Anzahl der Gäste, wie das in der Tabelle in Link3 zu sehen ist. Wie kann man nun die entsprechende Anzahl der Variationen in Excel2007 ermitteln? Geben Sie dazu in Zelle C6 den folgenden Befehl ein.

=Variationen($B6;C$5)

Wie Sie sehen, ist der Bezug zu B absolut und der Bezug zu 6 relativ. Bei C und 5 ist es umgekehrt. Wenn Sie nun mit der Maus über die entsprechenden Zellen ziehen, ermittelt Excel2007 automatisch die Werte für die eingegebene Formel.

Quellen:

Schwenk, Schuster, Schiecke, Pfeifer, Office Excel 2007, Microsoft Press

Bild:

http://www.pixelio.de/media/1583media46